Leonardo Pisano, a XII. és XIII. század fordulóján élt matematikus ismert nevén Fibonacci, a középkor legnagyobb európai matematikusai közé tartozott. Egyike volt azoknak, akik hinduktól származó, de az akkori világban arab közvetítéssel elterjedő tízes alapú, helyi értékes rendszerre épülő számírási módot Európában meghonosították.

4. FIBONACCI SZÁMOK

Leonardo Pisano, a XII. és XIII. század fordulóján élt matematikus ismert nevén Fibonacci, a középkor legnagyobb európai matematikusai közé tartozott. Egyike volt azoknak, akik hinduktól származó, de az akkori világban arab közvetítéssel elterjedő tízes alapú, helyi értékes rendszerre épülő számírási módot Európában meghonosították. Fibonacci kora matematikai ismereteit Liber Abaci címen ismert munkájában foglalta össze. E híres munkájában található a következő probléma, amit Fibonacci nyulaiként is gyakran emlegetnek:

Tegyük fel, hogy egy mezőn él egy újszülött nyúl pár, egy hím és egy nőstény. A nyulak egy hónapos korukra lesznek ivarérettek, így a második hónap végén már megszülethetnek az első kicsinyek. Tegyük fel, hogy a mi nyulaink soha nem halnak meg, és hogy a nőstények mindig új part ellenek (1 hímet és 1 nőstényt) minden hónapban, a második hónaptól kezdve.

A probléma felvetése: hány pár nyúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti pár, ha tudjuk, a nyulak két hónap alatt válnak ivaréretté, és ezután minden pár minden hónapban egy új párnak ad életet és mindegyikük életben marad?

Megoldás: A feladat megoldásában a nyúl-párok számának időbeli alakulását kell követni.

1. Az első hónap végén még csak 1 pár van.
2. A második hónap végén születik 1 új pár, így most már 2 pár van.
3. A harmadik hónap végén az eredeti nősténynek születik a második pár nyula, így már 3 pár lesz.
4. A negyedik hónap végén az eredeti nősténynek lesz újabb kicsinye, a második hónapban született nőstény most elli az első kicsinyeit, így összesen már 5 pár nyúl van.

Az egyes hónapokhoz tartozó nyúl-párok számát leíró 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 számsor Fibonacci-sorozat néven vonult be a matematika történetébe. A sorozat első két elemét azonban meg kell adni; ezek értéke a Fibonacci sorozat első tagja 0, második 1. A sorozat előállításának alapja az a tulajdonság, mely szerint a harmadik elemtől kezdve bármely elem az előző kettő összege. Ezeket követően a sorozat minden tagja az előző kettő összege. Nézzük meg ezt egy ábrán (4-1. ábra) a szemléletesség kedvéért.

4.L ábra Nyulak szaporodása évről-évre

Miért ez a válasz a „nyúl-problémára"? Miért egyeznek meg a Fibonacci számok a nyúlpárok számával minden hónapban?

F(n) legyen a mezőn élő nyulak száma az n-dik hónap elején. Megmutatjuk, hogy f(l) = 1, f(2) = 1 és f(n) = f(n-l) + f(n-2), amely pontosan a Fibonacci számok definíciójával egyezik meg. ( Teljesül f(0) = 0 is.)

Kezdjük az első hónappal, amikor még csak az újszülött pár van: f(l)= 1

A második hónapban is még csak az 1 pár van: f(2)= 1 Feltételünk szerint az 1. pár a harmadik hónap elején születik meg. Tehát mennyi nyúl lesz 2 hónap után? Mi f(n)?

Minden előző hónapban élő nyúl (í(n-l)) él a következőben is, tehát legalább f(n-1) van. Mennyi új születik?

Minden pár, amely már két hónapja is élt, képes újat elleni és feltesszük, hogy minden hónapban csak egyet. Mivel minden nyúl vagy az elmúlt hónapokban született, vagy most: f(n) = f(n-l) + f(n-2), ha n>2. Ez pontosan a Fibonacci számok definíciója (0 -vai és 1 -gyei kezdve).

A Fibonacci-sorozattal az életben újra és újra találkozunk, ha közelebbről szemügyre vesszük, milyen törvényszerűségek figyelhetők meg a természetes és az ember alkotta mintázatokban. A napraforgó magjai például minden esetben két egymásba fonódó spirálhalmaz mentén helyezkedik el, ellentétes irányban forogva. A két halmaz spiráljainak száma nem egyenlő: a pontos számot mindig a Fibonacci-sorozat két egymást követő tagja határozza meg. Ha például az egyik csigavonal száma 89, akkor a másik csigavonal száma vagy 55, vagy 144 lesz.

Hogyan lehet még szemléltetni a Fibonacci számokat?

Rajzoljunk két 1 egységnyi oldalú négyzetet egymás mellé, melyeknek egyik oldaluk érinti egymást, majd ezek fölé kétegységnyi oldalhosszúságú négyzetet (2=1 + 1). Ezután folytassuk a 3 egységnyi oldalhosszúságúval, amely az előzőt érinti.

Ezt így folytathatjuk tovább. Minden oldalhosszúság az előző kettő összegével egyezik meg. Ezen négyszögeknek hosszúságai Fibonacci számok, ezért ezeket Fibonacci négyszögeknek nevezzük.

4.2. ábra Fibonacci négyszög

A következő ábra megmutatja, hogy hogyan lehet negyed körívekből spirált rajzolni úgy, hogy minden négyzetben egy negyed körív legyen.

4,3- ábra Fibonacci spirál

A Fibonacci spirált szokták használni arra, hogy az élet illetve a természet növekedését illusztrálják, mivel magában foglalja az összes számot, amelyet logikusan a természetben megtalálunk. A spirált egyik legszemléletesebben bemutató természeti képződmények a csigaházak, kagylók

4.4.ábra Spirál egy csigaházon

A fenyő tobozain is felfedezhető a Fibonacci spirál:

4.5. ábra Spirál a fenyőtobozon A piros vonalak mutatják az egyik irányt, a zöldek a másikat.

A Fibonacci számok a természet ezernyi területén megjelennek, mint például növények leveleinek elrendezésében a száron, a virágok szirmainak száma is Fibonacci szám. Az ember alkotta mintázatok esetén szintén ez a helyzet, mivel a Fibonacci-sorozat két szomszédos tagjának hányadosa a végtelenhez közelítve megközelíti az "aranymetszést", a négyszög oldalainak ideális arányát, amelyet már a görögök is alkalmaztak az építészetben (lásd Parthenon). Kedves olvasóink is elvégezhetnek néhány egyszerű kísérletet magukon:

• — A fejtető és a köldök távolsága úgy aránylik egymáshoz, mint a köldök és a talp távolsága a testmagassághoz: 3:5:8.
• — A fejtető és a köldök, valamint a köldök és a térd között azonos a távolság.
• — Egyenlő távolságra van egymástól a köldök és a szeméremdomb; az állcsúcs és a mellbimbók vonala; a köldök és a mellbimbók vonala.
• — Hasonlóképpen egyenlő a távolság a szeméremdomb és a térd; a fejtető és a mellbimbók vonala; a térd és a talp között.

A Fibonacci-számok tulajdonképpen oly mértékben vannak jelen a mindennapi élet minden területén, hogy egy teljes folyóirat a FIBONACCI QUARTERLY kísérli meg számon tartani előfordulásukat.